Ортогональные криволинейные системы координат

Границы раздела моделируемых сред могут быть с достаточной степенью точности аппроксимированны координатными поверхностями какой-нибудь ортогональной криволинейной системы координат. Потому при решении прямых задач геоэлектроразведки принципиально избрать подходящую ортогональной криволинейной системы координат (q_1,q_2,q_3) и представить задачку в новых переменных.

В способах современной матфизики находят применение около 30 таких систем. Разглядим главные Ортогональные криволинейные системы координат.

Декартова система координат

Координатными поверхностями данной системы являются плоскости. Главные модели сред - однородное место, полупространство, плоско-параллельные оризонтально-слоистые и вертикально-слоистые место и полупространство.

Цилиндрическая система координат

Сферическая система координат

Плоскости q_3=const, концентрические сферы q_1=const и конусы q_2=const составляют три семейства координатных поверхностей данной системы.

Параболическая цилиндрическая система Ортогональные криволинейные системы координат координат

Координатные поверхности q_1=const и q_2=const образуют взаимоортогональные семейства араболических цилиндров, а q_3=const - есть плоскости.

Эллиптическая цилиндрическая система координат

Поверхности: софокусные эллиптические цилиндры q_1=const, гиперболические цилиндры q_2=const и плоскости q_3=const

Коническая система координат

Поверхности q_1=const, q_2=const образуют взаимоортогональные семейства параболоидов, a q_3=const Ортогональные криволинейные системы координат - есть плоскости

Параболическая система координат вращения

Поверхности q_1=const, q_2=const образуют взаимоортогональные семейства параболоидов, a q_3=const - есть плоскости

Формулы перевода

Пусть новенькая ортогональной криволинейной системы координат (q1,q2,q3) связана с декартовой (x,y,z) уравнениями

В новых координатах электронный потенциал описывается последующей краевой задачей

Оператор Лапласа:

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

где Hj, j = 1..3 – коэффициенты Ламэ

(1.19)

(1.20)

- еденичные Ортогональные криволинейные системы координат векторы, направленные по касательным к поверхностям qj = const в точке в сторону возрастания переменных qj.

Пример

Оператор Лапласа в цилиндрическое системе координат.

Задание (домашнее)

Оператор Лапласа - в сферическую систему координат.

Способ интегральных представлений решения прямых задач геоэлектрики

Данный способ формируется на базе интегральной формулы Грина с построением функции Грина вмещающего места. Он Ортогональные криволинейные системы координат является универсальным способом снижения геометрической трудности исследуемой среды. С другой стороны этот способ может быть применен также для поэтапного усложнения геометрии модели.

Мысль способа

Разглядим кусочно-однородную среду , состоящую из областей . Пусть в среде в точке с координатами находится точечный источник неизменного электронного тока интенсивности I (рис. 2).

Рис. 2.:Кусочно-однородная Ортогональные криволинейные системы координат среда

Математическая модель рассредотачивания потенциального поля в данной среде описывается последующей краевой задачей эллиптического типа:

, (2.1.1)

; (2.1.2)

; (2.1.3)

, ; (2.1.4)

;

(2.1.5)

Тут – граница области , – номера областей, участки границ которых являются частью границы «земля/воздух» – – номера областей с участками границ, уходящими в бесконечность, – вектор наружной нормали.

Разглядим вспомогательную функцию Грина – функцию точечного источника в среде без включений (во вмещающем Ортогональные криволинейные системы координат пространстве).

– источник тока;

– приёмник тока;

(2.1.6)

(2.1.7)

(2.1.8)

(2.1.9)

Краевая задачка (2.1.6)–(2.1.9) определяет функцию Грина в полупространстве для уравнения эллиптического типа с кусочно-постоянными коэффициентами. Будем считать, что функция Грина определяется в среде, состоящей из первых областей .

Если = , то при решение задачки (2.1.1)–(2.1.5) имеет вид:

.

Если < , то разглядим для каждой области , формулу Грина:

(2.1.10)

Подставив в Ортогональные криволинейные системы координат (2.1.10) заместо функции функцию Грина , определяемую решением граничной задачки (2.1.6)–(2.1.9), получим обобщенное интегральное представление решения краевой задачки (2.1.1)–(2.1.5) в области , :

(2.1.11)

где – знак Кронекера: .

Умножив (2.1.11) на и просуммировав итог по от 0 до N, получим:

С учетом граничных критерий (2.1.2)–(2.1.5) и (2.1.7)–(2.1.9) и в силу непрерывности функции получим более обычное интегральное представление решения Ортогональные криволинейные системы координат задачки (2.1.1)–(2.1.5):

, (2.1.12)

где – огромное количество номеров таких областей, которые имеют участки границ, соприкасающихся с границей области , другими словами скрещение границ не пусто.

Согласно формуле (2.1.12), решение задачки может быть получено в хоть какой точке начальной кусочно-однородной среды, если определено решение задачки (2.1.6)–(2.1.9), другими словами функция Грина , и известны граничные значения потенциала Ортогональные криволинейные системы координат на границах сред, не вошедших в задачку для функции Грина.

Полагая в (2.1.12), что точка Р принадлежит каждой из поверхностей получим систему линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно неведомых граничных значений потенциала вида: , , , ,

, (2.1.13)

где .

Универсальность способа интегральных представлений позволяет разнообразить вмещающее место от однородного до начального трудно построенного.

Этот подход допускает реализацию Ортогональные криволинейные системы координат процедуры упрощения геометрии среды (задачка для функции Грина подобна начальной задачке, но с наименьшим числом областей). Но данный способ позволяет и усложнять геометрию места, потому что кусочно-однородное место, для которого получено решение прямой задачки, может быть принято за вмещающее место более сложной среды (другими словами модель может Ортогональные криволинейные системы координат быть дополнена новым включением). К новейшей задачке применимы подобные формулы.

Способом интегральных преобразований могут быть решены задачки для всех главных типов геологических разрезов, осложненных наличием включений: однородного места и полупространства, горизонтально-вертикально и цилиндрически-слоистых сред, конусновидных сред, пространств с разными видами поднятий, в сферических и сфероидально- неоднородных средах.

Геоэлектрический Ортогональные криволинейные системы координат разрез

Применение способа

Постановка задачки

В декартовой системе координат построим математическую модель поля неизменного электронного тока силы I точечного источника, находящегося в точке , считая, что удельная электронная проводимость — есть кусочно-постоянная функция, границы сред — гладкие.

(1) ;

(2) ;

Контакт с непроницаемой средой:

(3) ;

Условие непрерывности потенциала и плотности тока:

(4)

(5)

(6)


oshusheniya-vo-vremya-transmissii.html
osi-prohodyashej-cherez-centr-mass.html
osipaet-mozgi-alkogol.html